ロドリゲスの公式はルジャンドル多項式を生成するための重要な数学的公式で、1816年に発表されました。 さまざまな直交多項式系にも活用されています。. 三次元空間における回転を考えるときに役立つロドリゲスの回転公式を紹介します。 まずはベクトル版を紹介し，後半では行列版（三次元空間における回転行列）を紹介します。
数学におけるロドリゲスの公式（ロドリゲスのこうしき、英: Rodrigues’ formula、かつてはアイヴォリー＝ヤコビの公式 英: Ivory–Jacobi formula とも）とはルジャンドル多項式を生成する公式であり、1816年にオランド・ロドリゲス、1824年にジェームズ・アイヴォリー、1827年にカール・グスタフ・ヤコビによって独立に発見された。「ロドリゲスの公式」という名前がハイネによって提唱されたのは1878年であるが、これは1865年にエルミートがこの公式の最初の発見者はロドリゲスだと指摘したことによる。
この用語は同様の直交多項式系の生成公式を示す際にも使われる。
リチャード・アスキーは2005年にロドリゲスの公式の歴史を詳細に綴った記事を執筆した。
ステートメント
ロドリゲスはルジャンドル多項式
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
を次のように記述した：
P
n
(
x
)
=
1
2
n
n
!
(
d
d
x
)
n
(
x
2
−
1
)
n
{\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}(x^{2}-1)^{n}}
スツルム＝リウヴィル型微分方程式の解として得られる直交函数系において同様の公式が成立することも多く、直交多項式系が得られるような場合についてはそれらの公式もロドリゲスの公式と呼ばれる。例えば以下のようなものがある。
- ラゲールの多項式
L
n
(
x
){\displaystyle L_{n}(x)}
L
n
(
x
)
=
e
x
(
d
d
x
)
n
(
x
n
e
−
x
)
{\displaystyle L_{n}(x)=e^{x}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}\left(x^{n}e^{-x}\right)}
- エルミート多項式
H
n
(
x
){\displaystyle H_{n}(x)}
H
n
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
(
d
d
x
)
n
e
−
x
2
{\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}e^{-x^{2}}}
- ゲーゲンバウアー多項式
C
n
(
α
)(
x
){\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)}
C
n
(
α
)
(
x
)
=
(
−
2
)
n
n
!
Γ
(
n
+
α
)
Γ
(
n
+
2
α
)
Γ
(
α
)
Γ
(
2
n
+
2
α
)
(
1
−
x
2
)
−
α
+
1
/
2
(
d
d
x
)
n
[
(
1
−
x
2
)
n
+
α
−
1
/
2
]
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]}
脚注
ロドリゲスの回転公式（回転行列による説明 その2） 河漢の戯言
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ロドリゲスの回転公式 Mathlog
三次元回転における ロドリゲの回転公式 （英: Rodrigues’ rotation formula）とは、 ベクトル 空間において、与えられた回転軸に対して回転を行うための効率的な アルゴリズム を指す。. ロドリゲスの回転公式 (Rodrigues’ rotation formula) 3次元空間において，原点 O を通る任意の回転軸（軸方向の単位ベクトルを n とする）の周りに，位置ベクトル r を角 θ だけ回転させた位置ベクトル r ′ は次式で表される． r ′ = r cos θ + (1 cos θ) (r n) n + (n × r.
